数学帝请进来,高中题

yxh790820

已知 x,y,z都是实数，x+y+z=1,x^2+y^2+z^2=3,求xyz的最大值

yxh790820

没有人来帮忙吗

chengxi

........

这是什么？

litangjian

问雄大~

dantemustdie

x+y+z=1是一个平面吧
x^2+y^2+z^2=3是球
就是在两者相交的曲线上找一个点让xyz最大，那个相交曲线还是个圆，投影到xoy上是椭圆
应该能算出来吧

苏轼

dantemustdie 发表于 2012-1-18 00:55
x+y+z=1是一个平面吧
x^2+y^2+z^2=3是球
就是在两者相交的曲线上找一个点让xyz最大，那个相交曲线还是个圆 ...

2b 做法，，明显不等式。。。。

苏轼

e,好像是的用解析几何做

热啊

好像以前中学的时候做过，应该不难的，不过现在全交给老师了

yxh790820

dantemustdie 发表于 2012-1-18 00:55
x+y+z=1是一个平面吧
x^2+y^2+z^2=3是球
就是在两者相交的曲线上找一个点让xyz最大，那个相交曲线还是个圆 ...

这个做法不适合高中生吧

jy_9cat

现在高中生那么猛了？
这题不用大学得方法 不好算

dantemustdie

yxh790820 发表于 2012-1-18 02:13
这个做法不适合高中生吧

消元呗
z用x y表示
y用x表示
然后带到xyz中，求导，死算出最大值

等DPR教授上线了你请教下他

jy_9cat

可以用全微分 做看看
f=xy(1-x-y)  x^2+y^2+(1-x-y)^2=3

把边界上的点极值和 边界内的极值都求出来
这个应该是高中生可以理解的

christiano

极值点是形如x=y的点
最大值5/27 在(-1/3,-1/3,5/3)
最小值-1在(1,-1,1)

tensor

tensor

我只是提供个思路，不保证计算的正确性。当然，这个用条件极值解，就very easy了。我只是按照几何的思路求解下，条条道路通罗马，希望大家批评指正，勿喷

tensor

忘了写了tg（a）=sqrt（2）

levi

由已知x+y=1-z，xy=z^2-z-1可得z的取值范围[-1，5/3]
xyz=z^3-z^2-z=(z+1)(z-1)^2-1
z∈[-1，1]时，由均值不等式(2z+2)(1-z)^2≦[(2z+2+1-z+1-z)/3]^3=64/27，此时xyz=z^3-z^2-z=(z+1)(z-1)^2-1≦5/27，取最大值时z=-1/3
z∈[1，5/3]时，xyz=z^3-z^2-z=(z+1)(z-1)^2-1单调，在z=5/3取最大值5/27

热啊

更正楼上的，平面切过球的切面应该是一个圆，不是椭圆。解应该在这个圆上的某点

anomaly

学过高数的同学说说........

能用 Lagrange multiplier 么.................?

anomaly

tensor 发表于 2012-1-18 02:48
我只是提供个思路，不保证计算的正确性。当然，这个用条件极值解，就very easy了。我只是按照几何的思路求解 ...

你蛋疼!

吴理头

俺数学很烂。。

天谬

记得 高中有这种不等式 可以用极值求解

meng_qq

这题不难吧   但是我要找我老师去

伊甸儿

以前会，现在发现题目都看不懂了。

专注撸管24年

老师说，三个方程

10.13.21.88

tensor 发表于 2012-1-18 02:44

看过你几次解题
发现你是简单问题复杂化的典型奇葩
如果你在工作中解决问题也是采用这样的方式
你的手下要怨声载道了

love1988fish

levi 发表于 2012-1-18 03:11
由已知x+y=1-z，xy=z^2-z-1可得z的取值范围[-1，5/3]
xyz=z^3-z^2-z=(z+1)(z-1)^2-1
z∈[-1，1]时，由均值 ...

可得z的取值范围[-1，5/3]   这一步没看懂

真的不是马甲

吊死都上过高中？

热啊

love1988fish 发表于 2012-1-18 13:45
可得z的取值范围[-1，5/3]   这一步没看懂

由x+y= 1-z 和 xy = z^2-z-1 推出
(x-y)^2  = x^2+y^2 - 2xy = -3z^2 + 2z +5   >= 0  推出 z在[-1,5/3] 之间
x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy  = -z^2 +3 >=0  推出z在[-根号3，根号3]之间

综合上面两个区间的重叠部分，推出z的取值范围在[-1,5/3] 之间。

绝望的生鱼片