请教一下论坛上的数学高人，王度度教授如果看到，请花上2秒为我解惑。

杨雯MM

题目是这样的，一只猫追一只老鼠，老鼠跳到一个圆形池塘里，猫不会游泳。池塘边到处是地洞，老师只要碰到岸边就能进洞，请问猫的速度至少要是老鼠的几倍，可以使老鼠无论往哪个方向游，都逃不掉？

西湖边的熊大

这个话题高端惨了

501

这不就是π么？

飞翔的奶牛

高端话题，屌丝好拙计。

临空一刀

老鼠出了小圈一定要跑直线，因为猫不会换方向了，其他线一定比直线长。但是严格的证明还需要更复杂的式子，比如用微积分，表达每一个单点，速度在径向和切向两个方向的分量的比值。算出来的结果应该也是直线

临空一刀

这个夹角a和倍数x可以列个方程，x就可以表示为夹角a的式子，这个只含a一个变量的式子的最大值就是结果。
(开方(平方(正弦(a))+平方(x-余弦(a)))*x=x*(a+派)
等号左边是直线长度乘以倍数，右边是猫跑的长度。老鼠先在半径略小于池塘半径x分之一的小圈上把猫甩到对面，然后垂直跑无限小一步，观察猫往哪边跑，接着跑这条和池塘半径有夹角的直线，偏向由瞄猫的那一眼决定。猫不会换方向，如果换，在和老鼠连线跨过圆心的时候老鼠也换方向，就更难抓住了。
这条直线的长度可以用勾股定理算。
a取0的时候x就是派+1,方程不知道对没，意思应该没错了？

临空一刀

重复编辑

临空一刀

hyb 发表于 2014-3-29 09:34
直奔圈外不是最优
一边奔圈外一边躲避猫才是最优  所以它应该走一条与半径有夹角的直线

你说的是对的，是一条和半径有夹角的线

hyb

为什么？ 删掉我39楼？？？

hyb

http://bbs.tianya.cn/post-71-73666-1.shtml

我特意去翻了下我以前答的  翻不到了  找到这里  看这里  终结此贴

hyb

一点都不拙计  嘿嘿
你列微分方程算出来其实也是直线这个结果  信不信由你

日后再说

hyb 发表于 2014-3-29 09:34
直奔圈外不是最优
一边奔圈外一边躲避猫才是最优  所以它应该走一条与半径有夹角的直线

     

hyb

临空一刀 发表于 2014-3-29 09:26
派+1。
假设为x倍，可以设池塘半径为x，老鼠跑一个半径略小于1的小圈可以把猫甩到圆心对面，而出了这个圈老 ...

直奔圈外不是最优
一边奔圈外一边躲避猫才是最优  所以它应该走一条与半径有夹角的直线

杨雯MM

临空一刀 发表于 2014-3-29 09:26
派+1。
假设为x倍，可以设池塘半径为x，老鼠跑一个半径略小于1的小圈可以把猫甩到圆心对面，而出了这个圈老 ...

这个是我一开始的想法，但是老鼠如果以类似斐波那契曲线的方式跑的话，是不是能超过π+1呢？

临空一刀

派+1。
假设为x倍，可以设池塘半径为x，老鼠跑一个半径略小于1的小圈可以把猫甩到圆心对面，而出了这个圈老鼠直奔圈外的效率最高。x兀/（x—1)=x,解出来就是x=兀+1

hyb

4.603338849
大约是这个结果   

hyb

π+1 不够准确  老鼠其实可以不延半径走到岸边  可以走斜一点  这样猫的速度还必须快一点点
具体多少忘记了  以前用matlab算过一个数值解的  

杨雯MM

SCI)_Dp_R 发表于 2014-3-29 07:35
派＋1。。

如果老鼠走的是曲线呢？

OruA

SCI)_Dp_R 发表于 2014-3-29 07:35
派＋1。。

22楼那是什么东西

SCI)_Dp_R

派＋1。。

熊的沉默

绝对不是3 要大很多倍的感觉

xjf1100

Neutrino 发表于 2014-3-28 19:35

老鼠是直径,或者曲线...这个不对的...

日后再说

大一的时候学微积分的时候老师布置的思考题。。。

西湖边的熊大

这题目太简单了
如果你问熊追老鼠我就给你算算

christiano

尼玛 十五年前的小学奥数

杨雯MM

Neutrino 发表于 2014-3-28 19:37
http://mathworld.wolfram.com/PursuitCurve.html

给跪了，看不懂

Neutrino

http://mathworld.wolfram.com/PursuitCurve.html

Neutrino

hysteria

老鼠跑一半转方向怎办？老鼠是一定能跑掉吧

杨雯MM

蠕蠕 发表于 2014-3-28 16:04
派+1倍的速度可能都不够,但是至少如果猫的速度不到老鼠的派+1倍,老鼠有必定逃生的方法
换句话说2,3,4,倍的 ...

π+1的情况我也算出来的。
现在考虑老鼠能不能走曲线，以螺线型向外扩散，始终往离猫最远的方向进行调整。