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设x0是函数f(x)的间断点,那么
1°如果f(x0-)与f(x0+)都存在,则称x0为f(x)的第一类间断点。
又如果
(i)f(x0-)=f(x0+),则称x0为f(x)的可去间断点。
(ii)f(x0-)≠f(x0+),则称x0为f(x)的跳跃间断点。
2°不是第一类间断点的任何间断点,称为第二类间断点。
第二类间断点:函数的左右极限至少有一个不存在。
a.无穷间断点:y=tanx,x=π/2
b.震荡间断点:y=sin(1/x),x=0
f(x)=[e^(1/x)-1]/[e^(1/x)+1]
根据幂的性质:
f(x)=[1/e^(-1/x)-1]/[1/e^(-1/x)+1] ……①
分子分母同除以e^(1/x):
f(x)=[1-1/e^(1/x)]/[1+1/e^(1/x)] ……②
当x=0时,1/x无意义,所以f(0)无定义;
当x→0-时,1/x→-∞,-1/x→+∞,e^(-1/x)→+∞,1/e^(-1/x)→0
由①,f(x)→(0-1)/(0+1)=-1;
当x→0+时,1/x→+∞,e^(1/x)→+∞,1/e^(1/x)→0
由②,f(x)→(1-0)/(1+0)=1;
所以x=0为f(x)的跳跃式间断点,属于第一类间断点。 |
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