blue mm进

幸运三叶草

关于你的那道数学题 ，我已经有比较彻底的解答了，但我还是刚才的观点（http://www.8da.org/thread-443274-1-1.html），感觉已知条件是f(1/3)=1/2.


    但是，不管怎样，下面的解答是对这种函数方程的彻底和严格的解决。
    先在区间(0,1)上定义函数g(x)=(1-a^x)/(1+a^x),其中a是一个在(0,1)之间的任意待定常数。容易证明g(x)是一一映射并且单调递增，值域为(0,(1-a)/(1+a))。
    并且，容易验证g(x+y)=(g(x)+g(y))/(1+g(x)g(y)),其中x和y均在(0，1)之间。
    那么对任意的x和y均在(0，1)之间，都有f(g(x))+f(g(y))=f(g(x+y))。
    定义(0,1)上的函数h(x)=f(g(x))，那么对任意的在(0,(1-a)/(1+a))之间的x和y,均有h(x)+h(y)=h(x+y).令a趋近于0，那么对任意的在(0,1)之间的x和y,均有h(x)+h(y)=h(x+y)。
    这实际上就把原来的函数方程转化为最简洁的的关于h(x)的那个函数方程。

    那么，到了这一步，假如条件是f(1/2)=1/2,能不能算出f(1/3)呢？由于论坛的数学符号很难排得优美，下面的讨论略去对定义域值域的描叙。并且令a=1/e,e是自然对数,用ln表示自然对数。（论坛打不出很复杂的对数式子，所以采用这种简省的办法）
    根据h(x)=f(g(x))易知f(x)=h(ln((1+x)/(1-x)))。特别的f(1/2)=h(ln3),f(1/3)=h(ln2),根据h(x)这样的方程的现成结论并结合ln2和ln3不在有理数域上线性相关的事实，是不可能由f(1/2)算出f(1/3)的。除非再加一些额外的分析条件。
    回答完毕。



      12月9日的修改
       主要目的是消除令人烦恼的取极限的问题，其本质是定义域当时没仔细考虑，马虎了。整个解答大体框架没有变化，但修改之后所有的毛疵都能去掉了。
       先在区间(0,+∞)上定义函数g(x)=(e^x-1)/(e^x+1)，其中e是自然对数常数.（实际上这相当于把前天那个定义里面的a直接取成1/e,由于现在的解法已经不需要用到a的任意性了，所以直接取为1/e反而表述方便）.容易证明g(x)是一一映射并且单调递增，从而g(x)有逆函数.易知g(x)的值域为(0,1).
       并且，容易验证g(x+y)=(g(x)+g(y))/(1+g(x)g(y))，其中x和y均大于0。
       那么有f(g(x))+f(g(y))=f(g(x+y))，其中x和y均大于0。
       定义(0,+∞)上的函数h(x)=f(g(x))，那么有h(x)+h(y)=h(x+y)，其中x和y均大于0。
       这实际上就把对f(x)的直接讨论变成了对h(x)的讨论，而h(x)看起来简单得多。并且f(x)和h(x)的关系又非常明确。再根据f(x)=h(ln((1+x)/(1-x)))，不难获得f(x)的所有信息。以下过程略去。

[ 本帖最后由 幸运三叶草 于 2007-12-9 19:26 编辑 ]

幸运三叶草

自己沙发

「恒」

。。。俄~~

suisui2006

x在(0,1),y在(0,1)
f(x)+f(y)=f((x+Y)/(1+xy))
已知f(1/2)=1/2
求f(1/2)-f(1/7)-f(1/17)
看清楚点，搞得那么复杂!

g(x+y)=(g(x)+g(y))/(1+g(x)g(y))和题意不符

幸运三叶草

原帖由 suisui2006 于 2007-12-7 21:56 发表
x在(0,1),y在(0,1)
f(x)+f(y)=f((x+Y)/(1+xy))
已知f(1/2)=1/2
求f(1/2)-f(1/7)-f(1/17)
看清楚点，搞得那么复杂!

g(x+y)=(g(x)+g(y))/(1+g(x)g(y))和题意不符

对于你这种浅尝辄止的门外汉，还未看完就胡乱断言的跳跳，我不屑于和你争论。

4比2Pj

因为
f(1/2) = f(1/7)+f(5/13) = 1/2
f(1/2) = f(1/17)+f(5/11) = 1/2     (可以用第一个条件算出来的，算不出来的自己带进去验证)
所以f(1/7) + f(1/17) = 1-(f(5/13)+f(5/11))
所以f(1/2) - f(1/7) - f(1/17)
=f(1/2) - (f(1/7) + f(1/17))
=1/2 - (1- (f(5/13)+f(5/11)))
=-1/2+f(5/13)+f(5/11)

由第一个条件可以计算得出f(5/13)+f(5/11) = f(96/192) = f(1/2) = 1/2
所以结果是0

4比2Pj

不跟我讨论？我很喜欢装逼的~~~~

mainframe

6楼
f(5/13)+f(5/11) = f(96/192) = f(1/2) = 1/2
这个是怎么推导出来的？？

幸运三叶草

站在更高的观点来看这道题，其实一切都是非常的明晰，我在上面已经写了，花更多的时间用在初等的计算上面几乎等于徒劳，就算捧出来也看不清问题的本质（实际上我已经回答了碰不出来）。

本来我不屑于一一指出你们的解答上的错误，你们的错误都是初级的计算错误。但既然你会在这个贴字里面，我就看了你的解答，错误在于

由第一个条件可以计算得出f(5/13)+f(5/11) = f(96/192) = f(1/2) = 1/2

4比2Pj

上面那个写错了是1/13

4比2Pj

恩，好像搞错了我日，装逼不成翻倍日，我更要走了~~~~

SCI)_Dp_R

大体思路是对的，不过
“
定义(0,1)上的函数h(x)=f(g(x))，那么对任意的在(0,(1-a)/(1+a))之间的x和y,均有h(x)+h(y)=h(x+y).令a趋近于0，那么对任意的在(0,1)之间的x和y,均有h(x)+h(y)=h(x+y)。

”

这里有逻辑问题，对任意a， 红字部分都不成立，而你后面要解题的时候要用到a。所以令a趋于0没有意义，a趋于0意味着g趋近于平凡函数g=0，f=0。这个与初值是矛盾的。g是依赖a的，无论你怎么取这个g和a，都不可能使
“对任意的在(0,1)之间的x和y,均有题中的条件。”

当然这个不是很关键，最后还是解不出来。

[ 本帖最后由 SCI)_Dp_R 于 2007-12-7 22:52 编辑 ]

幸运三叶草

原帖由 SCI)_Dp_R 于 2007-12-7 22:50 发表
大体思路是对的，不过
“
定义(0,1)上的函数h(x)=f(g(x))，那么对任意的在(0,(1-a)/(1+a))之间的x和y,均有h(x)+h(y)=h(x+y).令a趋近于0，那么对任意的在(0,1)之间的x和y,均有h(x)+h(y)=h(x+y)。

”

这里有逻 ...

这个小问题很容易修正，办法是引入另一个变量b,作为a的临时值，表述起来就麻烦

[ 本帖最后由 幸运三叶草 于 2007-12-7 22:56 编辑 ]

SCI)_Dp_R

所以我怀疑条件里是(x+y)/(1-xy) 中间是减好 这时就可以取g(x)=tg(x) 解决上面的问题

当然最后还是面临缺条件的问题，但可算基本解决

日后再说

易水寒

我靠
以为什么事...
进来我晕了..

幸运三叶草

原帖由 SCI)_Dp_R 于 2007-12-7 23:00 发表
所以我怀疑条件里是(x+y)/(1-xy) 中间是减好 这时就可以取g(x)=tg(x) 解决上面的问题

当然最后还是面临缺条件的问题，但可算基本解决

(1-a^x)/(1+a^x)与tg(x)的联系在于，(1-a^x)/(1+a^x)可以看成是tg(ix)差个常数系数，这一点你可以很简单的验证。其中i是虚数单位。
实际上,把(x+y)/(1+xy)写成(ix+iy)/(1-(ix)(iy))，你就能看得很清楚。

chevy419

忘了

suisui2006

依你的意思 对任意的x和y均在(0，1)之间，都有f(g(x))+f(g(y))=f(g(x+y)),
1、x,y相互独立，那么x+y并不一定在 (0,1)里面，g(x)定义域和前面定义的矛盾。
2、假设f(x)=1，x在(0,1)之间，那么f(g(x))=1,f(g(y))=1,f(g(x+y))=1,f(g(x))+f(g(y))=f(g(x+y))不成立明显错误吧，后面的就不用看了吧
DPR确实强！

[ 本帖最后由 suisui2006 于 2007-12-7 23:19 编辑 ]

rauljiang88

幸运三叶草

原帖由 suisui2006 于 2007-12-7 23:14 发表
依你的意思 对任意的x和y均在(0，1)之间，都有f(g(x))+f(g(y))=f(g(x+y)),
1、x,y相互独立，那么x+y并不一定在 (0,1)里面，g(x)定义域和前面定义的矛盾。
2、假设f(x)=1，x在(0,1)之间，那么f(g(x))=1,f(g(y))=1,f ...

我从来没立志过要把家里的小强全部杀光，这太难了，因为小强是拍不死的。

suisui2006

(1/2)-f(1/7)-f(1/17)
=f(1/2)-f((1/7+1/17)/(1+1/7x17))
=f(1/2)-f(1/5)
=f(1/3)  这个都自行验证吧换x=tg(t), y=tg(s)
原函数方程化为
f(tg(t))+f(tg(s))=f(tg(t+s))
解得
f(x)=k arctan(x)
代初值得 k = 2/pi
问题所求=f(1/3)=2*arctan(1/3)/pi

看到(x+y)/(1+xy)就应该想到tg(x)，这是tg(x)独有的结构

没说f(x)是奇函数，负号不能移进去的。
难道你能证明f(x)是奇函数？

[ 本帖最后由 suisui2006 于 2007-12-7 23:46 编辑 ]

SCI)_Dp_R

原帖由 suisui2006 于 2007-12-7 23:31 发表
(1/2)-f(1/7)-f(1/17)
=f(1/2)-f((1/7+1/17)/(1+1/7x17))
=f(1/2)-f(1/5)
=f(1/3)  这个都自行验证吧换x=tg(t), y=tg(s)
原函数方程化为
f(tg(t))+f(tg(s))=f(tg(t+s))
解得
f(x)=k arctan(x)
代初值得 k =  ...

我没把负号移进去

这个贴是弄错了，因为tgx的和式记错了，不用再引了

SCI)_Dp_R

原帖由 幸运三叶草 于 2007-12-7 23:12 发表

(1-a^x)/(1+a^x)与tg(x)的联系在于，(1-a^x)/(1+a^x)可以看成是tg(ix)差个常数系数，这一点你可以很简单的验证。其中i是虚数单位。
实际上,把(x+y)/(1+xy)写成(ix+iy)/(1-(ix)(iy))，你就能看得很清楚。

可是这个a无论怎么取都贴近不了(0,1)的1那一头

所以我觉得这个题目是有问题

周老虎

我是进来拿水晶的．．

SomeThing.Blue

因为a是(0,1)之间的任意值 说明它是一个值.无法是个无穷小量.不能趋近于0的.
这好比1/x 的一致连续性   即使引入b表述 也无法让g(x)在a趋近0时有意义

幸运三叶草

原帖由 SomeThing.Blue 于 2007-12-8 00:15 发表
因为a是(0,1)之间的任意值 说明它是一个值.无法是个无穷小量.不能趋近于0的.
这好比1/x 的一致连续性   即使引入b表述 也无法让g(x)在a趋近0时有意义

22222222222

幸运三叶草

原帖由 SCI)_Dp_R 于 2007-12-8 00:01 发表


可是这个a无论怎么取都贴近不了(0,1)的1那一头

所以我觉得这个题目是有问题

222222222222222